Question

兩個全等的Rt△ABC和Rt△EDA如圖放置，點B、A、D在同一條直線上．
操作：在圖中，作∠ABC的平分線BF，過點D作DF⊥BF，垂足為F，連接CE．證明BF⊥CE．
探究：線段BF、CE的關系，并證明你的結論．
說明：如果你無法證明探究所得的結論，可以將“兩個全等的Rt△ABC和Rt△EDA”改為“兩個全等的等腰直角△ABC和等腰直角△EDA（點C、A、E在同一條直線上）”，其他條件不變，完成你的證明，此證明過程最多得2分．

Answer 1

分析：過點E作EG⊥CB的延長線于點G．可得△BFD和△CGE是等腰直角三角形，可得BF=

2

2

（AB+AD），CE=

2

（AB+AD），由此可得，2BF=CE．

解答：證明：2BF=CE，且BF⊥CE．
過點E作EG⊥CB的延長線于點G．可得BDEG是矩形，即BD=EG，BG=DE，
設BC=AD=m，AB=DE=n．
∵BF是∠ABC的平分線，
∴∠DBF=45°，
又∵DF⊥BF，
∴∠FDB=45°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∴BF²+DF²=BD²，BF²+BF²=（AB+AD）²=（m+n）²，
∴BF=

2

2

（m+n）．
又∵△CGE也是直角三角形，
∴CE²=CG²+GE²
=（CB+BG）²+BD²
=（CB+DE）²+（AB+AD）²
=（m+n）²+（m+n）²
=2（m+n）²
∴CE=

2

（m+n）．
由此可得，2BF=CE；
∵∠GCE=∠CBF=45°，
∴CE⊥BF．

點評：此題考查了角平分線的定義和直角三角形的性質，作輔助線是關鍵．此題比較難．