Question

如圖，兩個全等的Rt△ABC、Rt△EDC的直角頂點放置在一起，∠B=∠D=30°，AB與CD交于點M，ED與BC交于點N，AB與ED交于點F．
（1）求證：△ACM≌△ECN；
（2）當∠MCN=30°時，找出MD與MF的數量關系，并加以說明．

Answer 1

分析：（1）欲證△ACM≌△ECN，可先由Rt△ABC、Rt△EDC全等的關系得出∠A=∠E，AC=CE又由∠ACM=∠ECN=90°-∠MCN可得出∠ACM=∠ECN即可由ASA得證；
（2）可由各角之間的數量關系先求出∠MFD=90°，再由∠D=30°可得出MD=2MF的數量關系；

解答：（1）證明：∵∠B=∠D，
∴∠A=∠E，
又∵AC=EC，
∠ACM=∠ECN=90°-∠MCN
在△ACM和△ECN中

∠A=∠E AC=EC ∠ACM=∠ECN

，
∴△ACM≌△ECN（ASA）；

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，∠MCN=30°，
∴∠DMF=∠MCN+∠B=30°+30°=60°．
∵∠D=30°，
∴∠DFM=90°．
∴△MDF是直角三角形且∠D=30°．
∴MD=2MF．

點評：三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法去判定．