Question

【題目】如圖①，E是AB延長線上一點，分別以AB、BE為一邊在直線AE同側作正方形ABCD和正方形BEFG，連接AG、CE．

(1)試探究線段AG與CE的大小關系，并證明你的結論；

(2)若AG恰平分∠BAC，且BE=1，試求AB的長；

(3)將正方形BEFG繞點B逆時針旋轉一個銳角后,如圖②,問(1)中結論是否仍然成立，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AG=CE.，理由見解析；（2）+1；;（3）AG=CE仍然成立，理由見解析；

【解析】

（1）根據正方形的性質可得AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△CBE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）利用角平分線的性質以及正方形的性質得出MC=MG，進而利用勾股定理得出GC的長，即可得出AB的長；

（3）先求出∠ABG=∠CBE，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△CBE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得證．

(1)AG=CE.

理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，

在△ABG和△CBE中，

∵ ，

∴△ABG≌△CBE(SAS)，

∴AG=CE；

(2)過點G作GM⊥AC于點M，

∵AG恰平分∠BAC，MG⊥AC，GB⊥AB，

∴BG=MG，

∵BE=1，

∴MG=BG=1，

∵AC平分∠DCB，

∴∠BCM=45°，

∴MC=MG=1，

∴GC= ，

∴AB的長為：AB=BC=+1；

(3)AG=CE仍然成立.

理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°，

∵∠ABG=∠ABC∠CBG，

∠CBE=∠EBG∠CBG，

∴∠ABG=∠CBE，

在△ABG和△CBE中，

∵ ，

∴△ABG≌△CBE(SAS)，

∴AG=CE.