Question

如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=

k

x

的圖象交于C，D兩點，與坐標軸交于A、B兩點，連接OC，OD（O是坐標原點）．
①利用圖中條件，求反比例函數的解析式和m的值；
②當x＞0時，雙曲線上是否存在一點P，使得△POC和△POD的面積相等？若存在，給出證明并求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：①根據一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=

k

x

的圖象交于C，D兩點，由C點坐標為（1，4），得出反比例函數的解析式即可；再利用D點坐標（4，m）代入解析式求出即可；
②雙曲線上存在點P，使得S_△POC=S_△POD，這個點就是∠COD的平分線與雙曲線的y=

4

x

交點，易證△POC≌△POD，則S_△POC=S_△POD．

解答：解：①∵一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=

k

x

的圖象交于C，D兩點，
由C點坐標為（1，4），
∴反比例函數的解析式為：xy=4，
即y=

4

x

；
把D點坐標（4，m）代入解析式得出：m=1；

②雙曲線上存在點P（2，2），使得S_△POC=S_△POD，理由如下：
∵C點坐標為：（1，4），D點坐標為：（4，1），
∴OD=OC=

17

，
∴當點P在∠COD的平分線上時，∠COP=∠POD，又OP=OP，
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．
∵C點坐標為：（1，4），D點坐標為：（4，1），
可得∠COB=∠DOA，
又∵這個點是∠COD的平分線與雙曲線的y=

4

x

交點，
∴∠BOP=∠POA，
∴P點橫縱坐標坐標相等，
即xy=4，x²=4，
∴x=±2，
∵x＞0，
∴x=2，y=2，
故P點坐標為（2，2），使得△POC和△POD的面積相等．

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及待定系數法求函數解析式，以及角平分線的性質，把結論轉化為方程的問題是解題關鍵．