Question

【題目】下面是小華同學設計的“作三角形的高線”的尺規作圖的過程．

已知：如圖1，△ABC．

求作：AB邊上的高線．

作法：如圖2，

①分別以A，C為圓心，大于長

為半徑作弧，兩弧分別交于點D，E；

② 作直線DE，交AC于點F；

③ 以點F為圓心，FA長為半徑作圓，交AB的延長線于點M；

④ 連接CM．

則CM 為所求AB邊上的高線．

根據上述作圖過程，回答問題：

（1）用直尺和圓規，補全圖2中的圖形；

（2）完成下面的證明：

證明：連接DA，DC，EA，EC，

∵由作圖可知DA=DC =EA=EC，

∴DE是線段AC的垂直平分線．

∴FA=FC ．

∴AC是⊙F的直徑．

∴∠AMC=______°（___________________________________）（填依據），

∴CM⊥AB．

即CM就是AB邊上的高線．

Answer 1

【答案】（1）補圖見解析；（2）90，直徑所對的圓周角是直角.

【解析】

（1）根據要求作出圖形即可．
（2）根據線段的垂直平分線的性質以及圓周角定理證明即可．

解：（1）如圖線段AE即為所求．


（2）連接DA，DB，EA，EB，
∵DA=DB，
∴點D在線段AB的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上），
∵EA=EB，
∴點E在線段AB的垂直平分線上．
∴DE是線段AB的垂直平分線．
∴FA=FB．
∴AB是⊙F的直徑．
∴∠AGB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴AG⊥BC
即AG就是BC邊上的高線．
故答案為：90°，直徑所對的圓周角是直角．