Question

【題目】如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點F，E分別以相同的速度從D，C兩點同時出發向C和B運動（任何一個點到達即停止），過點P作PM∥CD交BC于M點，PN∥BC交CD于N點，連接MN，在運動過程中，則下列結論：
①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PEBF；⑤線段MN的最小值為 ．
其中正確的結論有（ ）

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如圖，

∵動點F，E的速度相同，

∴DF=CE，

又∵CD=BC，

∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正確；

∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正確；

∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠APB=90°，故③正確；

在△BPE和△BCF中，

∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，

∴△BPE∽△BCF，

∴ = ，

∴CFBE=PEBF，

∵CF=BE，

∴CF2=PEBF，故④正確；

∵點P在運動中保持∠APB=90°，

∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，

在Rt△BCG中，CG= = = ，

∵PG= AB= ，

∴CP=CG﹣PG= ﹣ = ，

即線段CP的最小值為 ，故⑤正確；

綜上可知正確的有5個，

故選D．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．