Question

如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面積S₁為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S₂，S₃，…S_n（n為正整數），那么第n個正方形S_n的面積=

 

．

Answer 1

分析：根據正方形的性質易得：正方形的對角線是正方形的邊長的

2

倍；進而根據題意，找到第二個正方形與第一個正方形面積的關系，依此類推，可得第n個正方形S_n的面積．

解答：解：根據勾股定理得：正方形的對角線是正方形的邊長的

2

倍；
即第二個正方形的面積是第一個正方形面積的2倍，即是2，…
依此類推第n個正方形的面積是上一個正方形面積的2倍，即2×2×2…×2（n-1個2）=2^n-1．
故答案為2^n-1．

點評：本題要求學生能夠根據勾股定理得到前后正方形的邊長之間的關系，進一步得到面積之間的關系．從而找到規律．