Question

如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，…已知正方形ABCD的面積S₁為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S₂，S₃，…，S_n（n為正整數），那么第8個正方形的面積S₈=

2⁷

，第n個正方形的面積S_n=

2^n-1

．

Answer 1

分析：由題意可以知道第一個正方形的邊長為1，第二個正方形的邊長為

2

，第三個正方形的邊長為2，就有第n個正方形的邊長為

2

^（n-1），再根據正方形的面積公式就可以求出結論．

解答：解：第一個正方形的面積為1=，故其邊長為1=2⁰；
第二個正方形的邊長為

2

，其面積為2=2¹；
第三個正方形的邊長為2，其面積為4=2²；
第四個正方形的邊長為2

2

，其面積為8=2³；
…
第n個正方形的邊長為（

2

）^n-1，其面積為2^n-1．
當n=8時，
S₈=2^8-1，
=2⁷．
故答案為：2⁷，2^n-1．

點評：本題是一道探索規律的試題，考查了正方形的面積公式的運用，正方形的性質及勾股定理得運用，解答本題時找到正方形的面積與邊長的變化規律是關健．