Question

（2009•泰興市模擬）已知：如圖1所示，直線x+y=9與x軸、y軸相交于C、D兩點，直線2x+3y+12=0與x軸、y軸相交于A、B兩點，F（4，0）是x軸上一點，過C點的直線l垂直于x軸，N是直線l上一點（N點與C點不重合），連接AN．
（1）求A、D兩點的坐標；
（2）若P是AN的中點，PF=5，猜想∠APF的度數，并說明理由；
（3）如圖2所示，連接NF，求△AFN外接圓面積的最小值，并求△AFN外接圓面積的最小時，圓心G的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯立方程組可求得A（-6，0），D（0，9）；
（2）根據題意可知∠FPA=90°，取AC的中點Q，則PQ是△CAN的中位線．通過證明在△AFP和△PFQ中，∠QFP=∠PFA，可證△AFP∽△PFQ，即∠APF=∠PQF=90度；
（3）作線段AF的垂直平分線MH，交AF于點H，則圓心G在MH上，設G點的坐標為（-1，m），N點的坐標為（9，n），則△AFN的外接圓的半徑為GN，求△AFN的外接圓面積的最小值，即求線段CN長度的最小值，據點到直線距離的定義和矩形的性質以及勾股定理可求得點G的坐標為（-1，）或（-1，-）．
解答：解：（1）求得A（-6，0），D（0，9）；

（2）∠FPA=90°．
取AC的中點Q，則PQ是△CAN的中位線．
∵NC⊥x軸，
∴PQ⊥X軸，∠AQP=90°，
∴AQ=AC=7.5，
∴QF=AF-AQ=10-7.5=2.5，
∴，，
∴，
在△AFP和△PFQ中，∠QFP=∠PFA，
∴△AFP∽△PFQ，
∴∠APF=∠PQF=90°，

（3）作線段AF的垂直平分線MH，交AF于點H，則圓心G在MH上，且點H的橫坐標為-1，
設G點的坐標為（-1，m），N點的坐標為（9，n），則△AFN的外接圓的半徑為GN，
求△AFN的外接圓面積的最小值，即求線段CN長度的最小值，
根據點到直線距離的定義知：當GN⊥CN時，GN的長度最短，
此時四邊形GHCN為矩形，GN=HC=FG=10，
在Rt△GHF中，HF=5，
由勾股定理得：GH²=FG²-HF²，
∴m²=75，
m=±，
此時，點G的坐標為（-1，）或（-1，-）．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和相似三角形的性質，勾股定理等來表示相應的線段之間的關系，再結合具體圖形的性質求解．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．