Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知A（-3，0），B（0， ），點D與點A關于y軸對稱，C在第一象限內且四邊形ABCD是平行四邊形.

（1）求點C、點D的坐標并用尺規作圖確定兩點位置（保留作圖痕跡）

（2）若半徑為1的⊙P從點A出發，沿A—D—B—C以每秒4個單位長的速度勻速移動，同時⊙P的半徑以每秒0.5個單位長的速度增加，運動到點C時運動停止，當運動時間為t秒時

①t為何值時，⊙P與y軸相切？

②在整個運動過程中⊙P與y軸有公共點的時間共有幾秒？簡述過程.

（3）若線段AB繞點O順時針旋轉90°，線段AB掃過的面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）C(6，3)， D(3，0) ；（2）① , ,, ；②；（3）

【解析】試題分析：（1）由題可知：AD=AB=6，∠DAB=60°，再根據條件就可求出OB及BC的長，從而得到點C和點D的坐標．以點A為圓心，AB為半徑畫弧，與x軸交點即為點D；以點D為圓心，AB為半徑畫弧，以點B為圓心，AD為半徑畫弧，兩弧的交點即為點C．
（2）①分點P在AO、OD、BD、BC上四種情況討論，然后在直角三角形中運用特殊角的三角函數值建立方程，就可解決問題；
②只需求出三個臨界位置（點P分別在AO、OD、BD、BC上，且⊙P與y軸相切）對應的t的值，就可解決問題．
（3）過點O作OH⊥AB，垂足為H，過點O作OH′⊥A′B′，垂足為H′，采用割補法將S陰影轉化為S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′就可解決問題．

試題解析：

（1）由題可知：AD=AB=6，∠DAB=60°．
∵∠AOB=90°，∴AO=3，OB=3
∴OD=AD-OA=3．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=6．
∴點C的坐標為（6，3 ），點D的坐標為（3，0）．
作法：①以點A為圓心，AB為半徑畫弧，與x軸交點即為點D；
②以點D為圓心，AB為半徑畫弧；以點B為圓心，AD為半徑畫弧，兩弧的交點即為點C．
如圖1所示．

（2）①當點P在AO上時，如圖所示：

設時間為t，則r=1+0.5t,此時⊙P與y軸相切，

則AP=4t

∵AP+OP=AO

∴4t+1+0.5t=3,

∴t= ;

當點P在OD上時，如圖所示：

設時間為t，則r=1+0.5t,此時⊙P與y軸相切，

OP＝4t－3,

∴4t-3=1+0.5t,

∴t= ,

當點P在BD上時，作PE OB，如圖所示：

設時間為t，則r=1+0.5t,此時⊙P與y軸相切，

由PD＝4t-6,

∵BD= ,BP=BD-DP,

∴BP=6-(4t-6)=12-4t,

∵cos∠ODB= , ∠ODB=∠EPB

∴cos∠EPB=

∴t=2;

當點P在BC上時，如圖所示：

設時間為t，則r=1+0.5t,此時⊙P與y軸相切，

PB=4t-12

∴4t-12=1+0.5t

∴t= ;

∴當運動時間為 、 、、 時，⊙P與y軸相切；

②當圓P在AO上與y軸相切至圓P在OD上與y軸相切時，圓與y軸有交點，則時間為： ，當圓P在BD上與y軸相切至圓P在BC上與y軸相切時，圓與y軸有交點，則時間為： ，所以總時間為 ；

（3）若線段AB繞點O順時針旋轉90°，線段AB掃過的圖形如圖8所示，

過點O作OH⊥AB，垂足為H，過點O作OH′⊥A′B′，垂足為H′，如圖所示，
則有OH=OAsin∠HAO=3× ，

同理可得：OH′=，

∵S弓形AR=S扇形OAR-S正△OAR= ，

S扇形OBB′= ，

S扇形OHH′=

S△OHB=S△OH′B′
∴S陰影=S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′
=S弓形AR+S扇形OBB′-S扇形OHH′

＝

＝

∴線段AB掃過的面積是。