Question

如圖，已知拋物線y=

1

4

x²+1，直線y=kx+b經過點B（0，2）
（1）求b的值；
（2）將直線y=kx+b繞著點B旋轉到與x軸平行的位置時（如圖1），直線與拋物線y=

1

4

x²+1相交，其中一個交點為P，求出P的坐標；
（3）將直線y=kx+b繼續繞著點B旋轉，與拋物線相交，其中一個交點為P'（如圖②），過點P'作x軸的垂線P'M，點M為垂足．是否存在這樣的點P'，使△P'BM為等邊三角形？若存在，請求出點P'的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵直線y=kx+b過點B（0，2），
∴b=2．

（2）y=kx+b繞點B旋轉到與x軸平行，即y=2，
∴P（2，2）或P（-2，2），
依題意有：

1

4

x²+1=2，
x=±2，
∴P（2，2）或P（-2，2）．

（3）假設存在點P'（x₀，y₀），使△P'BM為等邊三角形，
如圖，則∠BP'M=60°
P'M=y₀P'B=2（P'M-2）=2（y₀-2）
且P'M=P'B
即y₀=2（y₀-2）
y₀=4
又點P′在拋物線y=

1

4

x²+1上
∴

1

4

x²+1=4
x=±2

3

∴當直線y=kx+b繞點B旋轉時與拋物線y=

1

4

x²+1相交，存在一個交點P′（2

3

，4）或P′（-2

3

，4）
使△P'BM為等邊三角形．