Question

【題目】如圖①，在等邊中，，動點從點出發，沿邊以每秒1個單位的速度向終點運動，同時動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿著方向運動．連結，設點運動的時間秒．

（1）用含的代數式表示線段的長．

（2）當時，求的值．

（3）若的面積為，求與之間的函數關系式．

（4）如圖②，當點在、之間時，連結，被分割成、、，當其中的某兩個三角形面積相等時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）當0≤≤3時，，當3<≤6時，；（2）；（3），；（4）或

【解析】

(1)分類討論：當0≤≤3時和當3<≤6時，根據題目意思結合圖形解答即可；

(2)根據直角三角形的性質列出方程，解方程得到答案；

(3)作QH⊥AB于H，根據直角三角形的性質用t表示出QH，根據三角形的面積公式解答；

(4)分△APQ的面積=△PCQ的面積、△APQ的面積=△PCB的面積、△CPQ的面積=△PCB的面積三種情況進行討論．

解：(1)由題意知得：點Q的運動路程為2t，

當0≤≤3時，，

當3<≤6時，．

(2)∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=60°，

當時，∠QPA=30°，

∴AQ=，即，

解得．

(3)如圖①所示，作QH⊥AB于H，

在Rt△QBH中，，

，

如圖②所示，作QH⊥AB于H，

在Rt△QAH中，，

．

(4)當點Q為AC的中點時，△APQ的面積=△PCQ的面積，

即12-2t=3，

解得：，

如圖①，作CE⊥AB于E，

則，

∴△ABC的面積：，

，

∴△BPC的面積：，

∴△APC的面積：，

，

∴△APQ的面積：，

∴△APC的面積：，

當△APQ的面積=△PCB的面積時，

，

整理得：t2-t+4=0，

△=1-16=-15＜0，此方程無解，

當△CPQ的面積=△PCB的面積時，

，

解得：（舍去），

綜上所述：在△APQ、△PCQ、△PBC中，其中某兩個三角形相等時，或．