Question

【題目】已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E是BC上一點，連接AE．

（1）如圖1，當∠BAE=15°，CE=時，求AB的長．

（2）如圖2，延長BC至D，使DC=BC，將線段AE繞點A順時針旋轉90°得線段AF，連接DF，過點B作BG⊥BC，交FC的延長線于點G，求證：BG=BE．

Answer 1

【答案】（1）3 （2）證明見解析

【解析】分析：(1)、根據題意得出△ABC為等腰直角三角形，根據題意得出∠CAE=30°，從而求出AE的長度，然后根據Rt△ACE的性質求出BC的長度，從而得出AB的長度；(2)、連接AD，線段AE繞點A順時針旋轉90°得線段AF，根據旋轉的性質得出△ADF和△ABE全等，從而證明△BCG和△DCF全等，從而得出答案．

詳解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∠BAE=15°，

∴∠CAE=30°，∵CE=，∴Rt△ACE中，AE=2CE=2，

∴由勾股定理可得，AC==3， ∴BC=3，

∴Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB==3；

（2）如圖所示，連接AD，

線段AE繞點A順時針旋轉90°得線段AF，則AE=AF，∠EAF=90°， ∵AC⊥BD，DC=BC，

∴AD=AB，∠ABE=∠ADC=45°，又∵DF⊥DC，∴∠ADF=45°=∠ABE，

∵∠AFD+∠AED=180°=∠AEB+∠AED， ∴∠AFD=∠AEB， ∴△ADF≌△ABE，

∴DF=BE， ∵BG⊥BC，∴∠CBG=∠CDF=90°， 又∵BC=DC，∠BCG=∠DCF，

∴△BCG≌△DCF，∴DF=BG， ∴BG=BE．