Question

【題目】如圖，已知AB∥CD，點M，N分別是AB，CD上兩點，點G在AB，CD之間．

（1）求證：∠AMG+∠CNG＝∠MGN；

（2）如圖②，點E是AB上方一點，MF平分∠AME，若點G恰好在MF的反向延長線上，且NE平分∠CNG，2∠E+∠G＝90°，求∠AME的度數；

（3）如圖③，若點P是（2）中的EM上一動點，PQ平分∠MPQ．NH平分∠PNC，交AB于點H，PJ∥NH，直接寫出∠JPQ的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠AME＝60°；（3）∠JPQ＝30°．

【解析】

（1）過點G作GE∥AB，得出AB∥CD∥GE，再由平行線的性質即可得出結論；

（2）設FG與NE交點為H點，AB與NE的交點I，由三角形內角和定理可知∠G+∠HNG+∠NHG＝180°，再利用角平分線定理得出即90°+∠AME＝180°，繼而得出結論；

（3）根據PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，可得出∠JPQ＝∠JPN﹣∠MPN，由此得出結論．

解：（1）證明：如圖①，過點G作GE∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥GE，

∴∠AMG＝∠MGE，∠CNG＝∠NGE，

∴∠AMG+∠CNG＝∠MGN；

（2）如圖②，設FG與NE交點為H點，AB與NE的交點I，

在△HNG中，

∵∠G+∠HNG+∠NHG＝180°

∴∠HNG＝∠AIE＝∠IHM+∠IMH＝（∠E+∠EMF）+∠IMH＝∠E+（∠EMF+∠IMH ）＝∠E+∠AME

∠NHG＝∠IHM＝∠E+∠EMF＝∠E+∠AME

∴∠G+∠HNG+∠NHG＝∠G+（∠E+∠AME）+（∠E+∠AME）＝180° （∠G+2∠E）+∠AME＝180°，即90°+∠AME＝180°，

∴∠AME＝60°；

（3）∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，

∴∠JPQ＝∠JPN﹣∠MPN

＝（∠ENC﹣∠MPN）

＝（∠AOE﹣∠MPN）

＝∠AME

＝30°．