Question

如圖①，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起(點A與點E重合)，已知AC＝8 cm，BC＝6 cm，∠C＝90°，EG＝4 cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜邊上的中點．

如圖②，若整個△EFG從圖①的位置出發，以1 cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時，點P從△EFG的頂點G出發，以1 cm/s的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，△EFG也隨之停止平移．設運動時間為x(s)，FG的延長線交AC于H，(不考慮點P與G、F重合的情況)．

(1)當x為何值時，OP∥AC？

(2)你能不能用含x的式子來表示四邊形OAHP面積呢？若能，請表示；若不能，請說明理由．

(3)是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．(參考數據：114²＝12996，115²＝13225，116²＝13456或4.4²＝19.36，4.5²＝20.25，4.6²＝21.16)

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC，∴，．∴FG＝＝3 cm． 　　∵當P為FG的中點時，OP∥EG，EG∥AC，∴OP∥AC． 　　∴x＝＝×3＝1.5(s)．∴當x為1.5 s時，OP∥AC． 　　(2)在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF＝5 cm． 　　∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH．∴． 　　∴．∴AH＝(x＋5)，FH＝(x＋5)． 　　過點O作OD⊥FP，垂足為D． 　　∵點O為EF中點，∴OD＝EG＝2 cm．∵FP＝3－x， 　　∴S四邊形OAHP＝S△AFH－S△OFP＝·AH·FH－·OD·FP 　　＝x2＋x＋3(0＜x＜3． 　　(3)假設存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24． 　　則S四邊形OAHP＝×S△ABC，∴x2＋x＋3＝××6×8， 　　∴6x2＋85x－250＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)． 　　∵0＜x＜3， 　　∴當x＝(s)時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24．