Question

如圖，已知一次函數y=-x +7與正比例函數y=x的圖象交于點A，且與x軸交于點B.

（1）求點A和點B的坐標；
（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l∥y軸．動點P從點O出發，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒.
①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A(3，4) ，B（7，0）；（2）①t=2；②t=1或或5或

試題分析：（1）根據圖象與坐標軸交點求法直接得出即可，再利用直線交點坐標求法將兩直線解析式聯立即可得出交點坐標；
（2）①利用S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，表示出各部分的邊長，整理出一元二次方程，求出即可；
②根據一次函數與坐標軸的交點得出，∠OBN=∠ONB=45°，進而利用勾股定理以及等腰三角形的性質和直角三角形的判定求出即可．
（1）由題意得，解得，
∴A(3，4)
令y=-x+7=0，得x=7
∴B（7，0）
（2）①當P在OC上運動時，0≤t＜4時，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，
∵當以A、P、R為頂點的三角形的面積為8，


∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，
∴t²-8t+12=0，
解得：t₁=2，t₂=6（舍去），
當P在CA上運動，4≤t＜7.
由S_△APR=×(7-t)×4=8，得t=3（舍）
∴當t=2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8.
②當P在OC上運動時，0≤t＜4.
∴AP= ，AQ= t，PQ=7-t
當AP =AQ時， （4-t）²+3²=2(4-t)²,
整理得，t²-8t+7="0." ∴t="1," t=7(舍)
當AP=PQ時，（4-t）²+3²=(7-t)²,
整理得，6t="24." ∴t=4(舍去)
當AQ=PQ時，2（4-t）²=(7-t)²
整理得，t²-2t-17="0" ∴t=1±3(舍)
當P在CA上運動時，4≤t＜7. 過A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4
設直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.P點坐標（t-4,4）
點Q的橫坐標為7-t,帶入到直線y=x中，得點Q的縱坐標為
AQ= 
PQ=
當AP=AQ時，，解得 
當AQ=PQ時，AE＝PE，即AE=AP
得，解得t=5.
當AP=PQ時，過P作PF⊥AQ于F
 
即，解得
∴綜上所述，t=1或或5或時，△APQ是等腰三角形.
點評：此題綜合性較強，利用函數圖象表示出各部分長度，再利用勾股定理求出是解決問題的關鍵．