Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．

（1）如圖1，當點E與點C重合時，求CM的長；

（2）如圖2，當點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設AP=x，BN=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）若△AME∽△ENB，求AP的長．

Answer 1

【答案】(本題滿分14分，第(1)小題滿分4分，第(2)、(3)小題滿分各5分)

[解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，CP=24，又sinEMP=CM=26。

(2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵EAP=BAC，∴ Rt△AEP~ Rt△ABC，

∴，即，∴EP=x，

又sinEMP=tgEMP===，∴MP=x=PN，

BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x(0<x<32)。

(3) j當E在線段AC上時，由(2)知，，即，EM=x=EN，

又AM=AP-MP=x-x=x，

由題設△AME~ △ENB，∴，=，解得x=22=AP。

k當E在線段BC上時，由題設△AME~ △ENB，∴AEM=EBN。

由外角定理，AEC=EAB+EBN=EAB+AEM=EMP，

∴Rt△ACE~Rt△EPM，，即，CE=…j。

設AP=z，∴PB=50-z，

由Rt△BEP~Rt△BAC，，即=，BE=(50-z)，∴CE=BC-BE=30-(50-z)…k。

由j，k，解=30-(50-z)，得z=42=AP。

【解析】略