Question

如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點，與軸交于點P，頂點為C（1，-2）.

（1)求此函數(shù)的關系式；
（2)作點C關于軸的對稱點D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得△PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標及△PEF的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

；E(3，2) ；3

試題分析：1）∵的頂點為C（1，-2），
∴，．                 2
2）設直線PE對應的函數(shù)關系式為．由題意，四邊形ACBD是菱形.
故直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M．            1
由P(0，-1)，M（1，0），得．從而，          2
設E(，)，代入，得．
解之得，，根據(jù)題意，得點E(3，2)             2
3）假設存在這樣的點F，可設F(，)．過點F作FG⊥軸，垂足為點G.
在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.
∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．

解得，，根據(jù)題意，
得F(1，-2)．
故點F(1，-2)即為所求．       

點評：解答本題的的關鍵是熟練掌握有兩組角對應相等的兩個三角形相似；兩組邊對應成比例且夾角相等的三角形相似.