Question

如下圖，點F是△ABC的AC邊中點，過點A作BC的平行線，與∠ABC的平分線相交于點D，E為BD的中點。

試探究：（1）AE與BD的位置關系，并給予證明；

（2）EF、AB、BC之間的數量關系，并給予證明。

Answer 1

（1）AE⊥BD

證明：∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC

則∠D=∠ABD，∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形            

又∵E是BD的中點，∴AE⊥BD（三線合一） 

（2）EF=（BC－AB）

證明：延長AE交BC于點G（或延長DF）        

由（1）知∠D=∠EBG，∵E是BD中點，∴BE=DE

又∵∠AED=∠GEB，∴△AED≌△GEB（ASA）   

∴AD=GB，AE=GE

又∵F為AC中點，∴EF是AACG的中位線

則EF=GC                                     

∵GC=BC－GB=BC－AD，由（1）知AD=AB

∴GC=BC－AB

∴EF=（BC－AB）