Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°．
（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線m（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在已作的圖形中，若直線m分別交AB、AC及BC的延長線于點D、E、F．連結AF，若AF=2，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，直線M即為所求；

（2）解：∵直線DF垂直平分線段AB，

∴AF=BF．

∵AF=2，

∴BF=2．

∵∠B=60°．

∴△ABF為等邊三角形，AB=2，

∴由等邊三角形三線合一，AC垂直平分線段BF，BC= BF= ×2=1．

∴Rt△ABC中，AC= = = ．

∴△ABC周長=AB+BC+AC=2+1+ =3+ ．

【解析】（1）作線段AB的垂直平分線m即可；（2）先根據線段垂直平分線的性質得出AF=BF，再由∠B=60°得出△ABF為等邊三角形，由等邊三角形三線合一的性質得出BC的長．再由勾股定理求出AC的長，進而可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解線段垂直平分線的性質的相關知識，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．