Question

（2013•淄博）△ABC是等邊三角形，點A與點D的坐標分別是A（4，0），D（10，0）．
（1）如圖1，當點C與點O重合時，求直線BD的解析式；
（2）如圖2，點C從點O沿y軸向下移動，當以點B為圓心，AB為半徑的⊙B與y軸相切（切點為C）時，求點B的坐標；
（3）如圖3，點C從點O沿y軸向下移動，當點C的坐標為C（0，-2

3

）時，求∠ODB的正切值．

Answer 1

分析：（1）先根據等邊三角形的性質求出B點的坐標，直接運用待定系數法就可以求出直線BD的解析式；
（2）作BE⊥x軸于E，就可以得出∠AEB=90°，由圓的切線的性質就可以而出B的縱坐標，由直角三角形的性質就可以求出B點的橫坐標，從而得出結論；
（3）以點B為圓心，AB為半徑作⊙B，交y軸于點C、E，過點B作BF⊥CE于F，連接AE．根據等邊三角形的性質圓心角與圓周角之間的關系及勾股定理就可以點B的坐標，作BQ⊥x軸于點Q，根據正切值的意義就可以求出結論．

解答：解：（1）∵A（4，0），
∴OA=4，
∴等邊三角形ABC的高就為2

3

，
∴B（2，-2

3

）．
設直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得

2k+b=-2 3 10k+b=0

，
解得：

k= 3 4 b=- 5 3 2

，
∴直線BD的解析式為：y=

3

4

x-

5 3

2

；

（2）作BE⊥x軸于E，
∴∠AEB=90°．
∵以AB為半徑的⊙S與y軸相切于點C，
∴BC⊥y軸．
∴∠OCB=90°
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACO=30°，
∴AC=2OA．
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴AC=8，
∴由勾股定理得：OC=4

3

．
作BE⊥x軸于E，
∴AE=4，
∴OE=8，
∴B（8，-4

3

）；

（3）如圖3，以點B為圓心，AB為半徑作⊙B，交y軸于點C、E，過點B作BF⊥CE于F，連接AE．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠OEA=

1

2

∠ABC=30°，
∴AE=2OA．
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴AE=8．
在Rt△AOE中，由勾股定理，得
OE=4

3

．
∵C（0，-2

3

），
∴OC=2

3

，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=2

7

．
∵CE=OE-OC=4

3

-2

3

=2

3

．
∵BF⊥CE，
∴CF=

1

2

CE=

3

，
∴OF=2

3

+

3

=3

3

．
在Rt△CFB中，由勾股定理，得
BF²=BC²-CF²，
=28--3=25，
∴BF=5，
∴B（5，-3

3

）．
過點B作BQ⊥x軸于點Q，
∴BQ=3

3

，OQ=5，
∴DQ=5，
∴tan∠ODB=

BQ

DQ

=

3 3

5

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質的運用，勾股定理的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，圓周角與圓心角的關系定理的運用，切線的性質的運用及直角三角形的性質的運用，解答時靈活運用勾股定理求線段的值是關鍵．