Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于點，與軸相交于、兩點，且點在點的右側，設拋物線的頂點為.

（1）若點與點關于直線對稱，求的值；

（2）若，求的面積；

（3）當時，該拋物線上最高點與最低點縱坐標的差為，求出與的關系；若有最大值或最小值，直接寫出這個最大值或最小值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）當時，；當時，；當時，；當時，；當時，有最小值，最小值為1.

【解析】

（1）由點B與點C關于直線x=1對稱，可得出拋物線的對稱軸為直線x=1，再利用二次函數的性質可求出b值；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，結合OA=OB可得出點B的坐標，由點B的坐標利用待定系數法可求出拋物線的解析式，由拋物線的解析式利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，利用配方法可求出點P的坐標，再利用三角形的面積公式即可求出△BCP的面積；

（3）分b＜-2，-2≤b≤0，0＜b≤2，b＞2四種情況考慮，利用二次函數圖象上點的坐標特征結合二次函數的圖象找出h關于b的關系式，再找出h的最值即可得出結論．

解：

（1）y=x（x-b）-=x2-bx-，

∵點B與點C關于直線x=1對稱，

∴=1，

解得：b=2．

（2）當x=0時，y=x2-bx-=-，

∴點A的坐標為（0，-），

∴，

∵，

∴或，

當在上時，，

∴.

∴，

∴，，

∴.

當在上時，

∵點在點右側，

∴不符合題意.

綜上所述可得，.

此時拋物線的頂點縱坐標為.

∴.

（3）拋物線的對稱軸為直線，

①當即時，

最高點縱坐標為，

最低點縱坐標為，

∴，當時，.

②當即時，

最高點縱坐標為，

最低點縱坐標為，

∴，

∴當時，有最大值4，

當時，有最小值1.

③當即時，

最高點縱坐標為，

最低點縱坐標為，

∴，

當時.

④當即時，

最高點縱坐標為，

最低點縱坐標為，

∴，當，即.

綜上所述

當時，；

當時，；

當時，；

當時，；

當時，有最小值，最小值為1.