Question

已知：B，C是線段AD上的兩點，且AB=CD．分別為AB，BC，CD，AD為直徑作四個半圓，得到一個如圖所示的軸對稱圖形．此圖的對稱軸分別交其中兩個半圓于M，N交AD于O．若AD=16，AB=2r（0＜r＜4），回答下列問題：
（1）用含r的代數式表示BC=

 

，MN=

 

；
（2）設以MN為直徑的圓的面積為S，陰影部分的面積為S_陰影，請通過計算填寫下表：

r	S	S陰影
r=1		49π
r=2	36π
r=3		25π

（3）由此表猜想S與S_陰影的大小關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據線段的和差關系可知：BC=16-4r，即OC=

1

2

BC=8-2r=ON，OM=AB+OB=2r+8-2r=8，所以MN=ON+OM=8-2r+8=16-2r．
（2）根據圓的面積公式進行計算，可得出S=S_陰影，依此填寫表格．
（3）利用面積公式證明．

解答：解：（1）16-4r，16-2r．（2分）

（2）如圖所示：

r	S	S陰影
r=1	49π	49π
r=2	36π	36π
r=3	25π	25π

（3）S=S_陰影．
證明：∵S=π（

16-2r

2

）²=π（8-r）²=64π-16πr+πr²
S_陰影⁼

1

2

×8²π-πr²+

1

2

π（8-2r）²=64π-16πr+πr²，
∴S=S_陰影．（8分）
說明：證明中S_陰影，S求對一個可得（1）．結果寫為π（8-r）²或其它形式不扣分．

點評：本題主要考查了看圖的能力，利用圖中的線段關系和軸對稱的性質，求出各圓的半徑，然后再進行圓面積的計算．