Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．
（1）直線BF垂直于直線CE，交CE于點F，交CD于點G（如圖①），求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于直線CE，交CE的延長線于點H，交CD的延長線于點M（如圖②），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

見解析

⑴證明：設∠ACE=∠1,因為直線BF垂直于CE，交CE于點F,所以∠CFB=90°，
所以∠ECB+∠CBF=90°.
又因為∠1+∠ECB=90°，所以∠1=∠CBF .
因為AC="BC," ∠ACB=90°，所以∠A=∠CBA=45°.
又因為點D是AB的中點，所以∠DCB=45°.
因為∠1=∠CBF，∠DCB=∠A，AC=BC，所以△CAE≌△BCG，所以AE=CG.
(2)解：CM=BE.證明如下：因為∠ACB=90°,所以∠ACH +∠BCF=90°.
因為 CH⊥AM，即∠CHA=90°,所以 ∠ACH +∠CAH=90°,所以∠BCF=∠CAH.
因為 CD為等腰直角三角形斜邊上的中線,所以 CD=AD.所以∠ACD=45°.
在△CAM與△BCE中,CA=BC,∠CAH =∠BCF, ∠ACM =∠CBE,
所以 △CAM ≌△BCE,所以CM=BE.