Question

【題目】菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，點E在對角線BD上，∠AED=45°，P是菱形上一點，若△AEP是以AE為直角邊為直角三角形，則tan∠APE的值為________．

Answer 1

【答案】1或或

【解析】

本題以菱形為題目背景，綜合考查菱形的性質，并以動點問題豐富題干，考查分類討論方式，結合題干信息特殊角度，可通過做輔助線構造特殊直角三角形以滿足求解三角函數正切值的前提，繼而通過圖形性質求解邊長比例．

∵菱形ABCD，∠ABC=30°，AC⊥BD

∴∠BAC=75°

連接CE，并延長CE交AB于點P1，如下圖所示

當∠AED=45°時，∠BAE=30°，△AEC與△AEP1為直角三角形

在△AEP1中，tan∠AP1E=tan60°=

在△AEC（即△AEP2，此時點P2與點C重合）中，tan∠AP2E=tan45°=1

在△AEP3中，∠EAP3=90°，此時CP1∥AP3

設OA=，那么EC=AE=，EP1=

所以AP3=CP1=+，tan∠AP3E==÷(+)=．

綜上，tan∠APE的值為1或或．