Question

16．長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉動的速度是a°/秒，燈B轉動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a-3b|+（a+b-4）²=0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若燈B射線先轉動20秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？
（3）如圖，兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前．若射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉動過程中，∠BAC與∠BCD的數量關系是否發生變化？若不變，請求出其數量關系；若改變，請求出其取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據|a-3b|+（a+b-4）²=0，可得a-3b=0，且a+b-4=0，進而得出a、b的值；
（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：①在燈A射線轉到AN之前，②在燈A射線轉到AN之后，分別求得t的值即可；
（3）設燈A射線轉動時間為t秒，根據∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得∠BAC與∠BCD的數量關系．

解答 解：（1）∵a、b滿足|a-3b|+（a+b-4）²=0，
∴a-3b=0，且a+b-4=0，
∴a=3，b=1；

（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，
①當0＜t＜60時，
3t=（20+t）×1，
解得t=10；
②當60＜t＜120時，
3t-3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85；
③當120＜t＜180時，
3t-360=t+20，
解得t=190＞180，（不合題意）
綜上所述，當t=10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；

（3）設A燈轉動時間為t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
而∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BAC：∠BCD=3：2，
即2∠BAC=3∠BCD．

點評 本題主要考查了平行線的性質，非負數的性質以及角的和差關系的運用，解決問題的關鍵是運用分類思想進行求解，解題時注意：若兩個非負數的和為0，則這兩個非負數均等于0．