Question

【題目】如圖所示，圖1是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中的虛線剪成四個全等的小長方形，再按圖2圍成一個較大的正方形．

（1）請用兩種方法表示圖2中陰影部分的面積（只需表示，不必化簡）；
（2）比較（1）的兩種結果，你能得到怎樣的等量關系？
（3）請你用（2）中得到的等量關系解決下面問題：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：∵大正方形的面積為（m+n）2，四個小長方形的面積為4mn，

∴中間陰影部分的面積為S=（m+n）2﹣4mn．

方法二：∵中間小正方形的邊長為m﹣n，∴其面積為（m﹣n）2．

（2）解：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn）．
（3）解：由（2）得（m+n）2﹣4×12=42，即（m+n）2=64，

∴m+n=±8．又m、n非負，∴m+n=8．

【解析】（1）觀察圖形可確定：方法一，大正方形的面積為（m+n）2 ， 四個小長方形的面積為4mn，中間陰影部分的面積為S=（m+n）2﹣4mn；方法二，圖2中陰影部分為正方形，其邊長為m﹣n，所以其面積為（m﹣n）2 ． （2）觀察圖形可確定，大正方形的面積減去四個小長方形的面積等于中間陰影部分的面積，即（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．（3）由（2）得，將m﹣n=4，mn=12，代入（2）式可求m+n=8．
【考點精析】利用完全平方公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知首平方又末平方，二倍首末在中央．和的平方加再加，先減后加差平方．