Question

已知正方形的面積為9x²+36xy+36y²（x＞0，y＞0），且這個正方形的邊長為12．
（1）求x的取值范圍；
（2）若x≥2，求y的最大值；
（3）若x+y≤3，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由正方形面積得正方形邊長為3x+6y，可得3x+6y=12，即x+2y=4，根據x＞0，y＞0求x的取值范圍；
（2）由（1）可知y=-

1

2

x+2，而-

1

2

＜0，一次函數y隨x的增大而減小，故當x=2時，y有最大值；
（3）將y=-

1

2

x+2代入x+y≤3中，解不等式求x的取值范圍．

解答：解：（1）∵9x²+36xy+36y²=（3x+6y）²，
∴正方形面積得正方形邊長為3x+6y，
∴3x+6y=12，
即x+2y=4，
y=-

1

2

x+2，
∵x＞0，y＞0，
∴

x＞0 - 1 2 x+2＞0

，
解得0＜x＜4；
（2）∵y=-

1

2

x+2，而-

1

2

＜0，一次函數y隨x的增大而減小，
∴當x=2時，y有最大值為1；
（3）將y=-

1

2

x+2代入x+y≤3中，得x-

1

2

x+2≤3，
解得x≤2，
又x＞0，
∴0＜x≤2．

點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是根據正方形的面積求正方形的邊長，得出x、y的函數關系式，利用一次函數的性質，解不等式（組）．