Question

把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當的剪裁，折成一個長方形盒子（紙板的厚度忽略不計）。
（1）如圖1，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子。

①要使折成的長方形盒子的底面積為484cm²，那么剪掉的正方形的邊長為多少？
②折成的長方形盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值及此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，請說明理由。
（2）如圖2在正方形硬紙板上剪掉一些矩形（圖2中陰影為剪去部分），將剩余部分折成一個有蓋的長方形盒子，若折成的一個長方形盒子的表面積為550cm²，求此時長方形盒子的長、寬、高。

Answer 1

（1）①剪掉的正方形的邊長為9cm。②長方形盒子的側面積最大為800cm²。（2）剪掉的正方形的邊長為15cm。此時長方體盒子的長為15cm，寬為10cm，高為5cm。

試題分析：解：（1）①設剪掉的正方形的邊長為xcm。

則，即，
解得（不合題意，舍去），
，∴剪掉的正方形的邊長為9cm。
②側面積有最大值。設剪掉的正方形的邊長為xcm，
盒子的側面積為ycm²，則y與x的函數關系為：
，
即 ，即，
∴x=10時，y_最大=800。
即當剪掉的正方形的邊長為10cm時，長方形盒子的側面積最大為800cm²。
（2）設剪掉的正方形的邊長為xcm。

解得：（不合題意，舍去），。
∴剪掉的正方形的邊長為15cm。此時長方體盒子的長為15cm，寬為10cm，高為5cm。
點評：本題難度中等，主要考查學生對一元二次方程解決實際問題知識點的掌握，為中考常考題型，要求學生牢固掌握，注意培養數形結合思想，結合圖像分析題意列方程。