Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中,直角梯形OABC的頂點A的坐標為(4，0)，直線y = -x + 3經過頂點 B，與y軸交于頂點C，AB // OC.

(1)求頂點B的坐標.

(2)如 圖2，直線 L 經過點 C，與直線 AB 交于點 M，點 O′為點 O 關于直線L的對稱點,聯 結 CO′，并延長交直線AB于第一象限的點 D，當CD=5 時，求直線 L的解析式；

(3)在(2)條件下，點P在直線 L上運動，點Q在直線OD上運動，以 P、Q、B、C 為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能,請直接寫出點P坐標；若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）B(4,2)；（2）；（3）P點坐標為（2,2）或（5,）或（-2,4）.

【解析】

（1）根據題意設點B的坐標為(4,y)，將x=4代入直線解析式即可求出B點縱坐標，從而得到B點坐標；

（2）過C點作CN⊥AB于N，由平行線和對稱的性質可推出∠DCM=∠DMC，進而得到CD=MD=5，利用勾股定理求出DN，得到NM=2，易得AM=1，從而得到M點坐標，利用待定系數法即可求出直線L的解析式；

（3）連接OD，先求出OD直線解析式，根據點P在直線 L上運動，點Q在直線OD上運動，可設P點坐標為（），Q點坐標為（），在分類討論，利用平行四邊形對角線互相平分的性質和中點坐標公式可建立方程求解.

解：(1)∵A(4,0)，AB∥OC，

∴設點B的坐標為(4,y)

把x=4代入中，得y=2，

∴B(4,2)；

(2)如圖，過C點作CN⊥AB于N,

∵AB∥OC，

∴∠OCM=∠DMC，

∵點 O′為點 O 關于直線L的對稱點

∴∠DCM=∠OCM，

∴∠DCM=∠DMC

∴CD=MD=5，

∵，當x=0時y=3，

∴OC=3，

∵CN=OA=4，

∴DN=，

∴NM=53=2，

∴AM=AN-NM=3-2=1

∴M(4,1)，

設直線L解析式y=kx+b把C(0,3)，M(4,1)代入得：

，解得，

∴直線L的解析式為：.

（3）如圖，連接OD，

∵AD=AM+MD=1+5=6，AD∥OC，A點坐標為（4,0）

∴D點坐標為（4,6）

設OD直線解析式為，將（4,6）代入可得，解得

∴直線OD解析式為，

∵點P在直線 L上運動，點Q在直線OD上運動

∴設P點坐標為（），Q點坐標為（），

分情況討論：

如圖1所示，當BC、PQ為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分的性質和中點坐標公式可得：

，解得，

當時，

∴P點坐標為（2,2）；

如圖2所示，當BQ、PC為對角線時，同理可得：

，解得，

當時，

∴P點坐標為（5,）；

如圖3所示，當BP、CQ為對角線時，同理可得：

，解得，

當時，

∴P點坐標為（-2,4）；

綜上所述，P點坐標為：（2,2）或（5,）或（-2,4）.