Question

【題目】已知正方形ABCD，點E，F分別在射線AB，射線BC上，AE=BF，DE與AF交于點O.

（1）如圖1，當點E，F分別在線段AB，BC上時，則線段DE與AF的數量關系是 ，位置關系是 .

（2）如圖2，當點E在線段AB延長線上時，將線段AE沿AF進行平移至FG，連接DG.

①依題意將圖2補全；

②小亮通過觀察、實驗提出猜想：在點E運動的過程中，始終有.

小亮把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：連接EG，要證明，只需證四邊形FAEG是平行四邊形及△DGE是等腰直角三角形.

想法2：延長AD，GF交于點H，要證明，只需證△DGH是直角三角形.

圖1 圖2

請你參考上面的想法，幫助小亮證明.（一種方法即可）

Answer 1

【答案】（1）相等，垂直；（2）①補圖見解析；②證明見解析

【解析】解：（1）相等，垂直．.

（2）①依題意補全圖形．.

②法1：

證明：連接GE.

由平移可得AE=FG，AE∥FG，∴四邊形AEGF是平行四邊形.

∴AF=EG，AF∥EG，

∴∠1=∠2.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD = AB，∠DAE=∠ABC= 90°.

∵AE=BF，

∴△AED≌△BFA.

∴∠3=∠4，AF = DE.

∴EG=DE.

∵∠2+∠4=90°，

∴∠1+∠3=90°，∴∠DEG=90°.

∴.

又 ∵，

∴.

法2：

證明：延長AD，GF交于點H，

由平移可得AE=FG，AE∥FG，

∴∠H+∠DAB= 180°

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAB= 90°，AD=DC.

∴∠H = 90°.

∴.

∵∠HDC=∠DCF= 90°,

∴四邊形HDCF是矩形.

∴HF=DC.

∴HF=AD.

∵HG=FG+HF,

∴HG=AE+HF=AE+AD.

∵易證BF=AH 且BF=AE,

∴HD=AE –AD.

∴.