Question

已知直線y=kx-1與x軸、y軸分別交于點A、點B，O為坐標原點，k＜0，∠BAO=30°．以線段AB為邊在第三象限內作等邊△ABC．
（1）求出k的值；
（2）求出點C的坐標；
（3）若在第三象限內有一點P（m，-

1

2

），且△ABP的面積和△ABC的面積相等，求m的值．

Answer 1

分析：（1）對于直線y=kx-1，令x=0求出y=-1，可得出B坐標為（0，-1），進而確定出OB的長，在直角三角形AOB中，由∠BAO=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到AB=2OB，求出AB的長，利用勾股定理求出OA的長，由k小于0，確定出A的坐標，將A坐標代入直線y=kx-1中，即可求出k的值；
（2）由三角形ABC為等邊三角形，得到∠BAC為60°，由∠BAO+∠BAC得到∠OAC為直角，再由AB的長，求出AC的長，即為C縱坐標的絕對值，OA為C橫坐標的絕對值，由C為第三象限點，即可確定出C的坐標；
（3）由三角形ABP的面積與三角形ABC的面積相等，且AB為兩三角形的公共邊，得到AB邊上的高相等，進而得到直線PC與直線AB平行，即兩直線的斜率相等，由直線AB的斜率設出直線PC的解析式為y=-

3

3

x+b，將C坐標代入求出b的值，確定出直線PC解析式，將P坐標代入直線PC解析式中，即可求出m的值．

解答：解：（1）對于直線y=kx-1，令x=0，解得y=-1，
則B（0，-1），即OB=1，
∵∠BAO=30°，
∴在Rt△OAB中，AB=2OB=2，
根據勾股定理得：OA=

AB2-OB2

=

3

，
∵k＜0，
∴A（-

3

，0），
把A（-

3

，0）代入y=kx-1中得：k=-

3

3

；  

（2）∵AB=2，∠BAO=30°，△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=2，∠OAC=∠BAO+∠BAC=30°+60°=90°，
∵C在第三象限，OA=

3

，
∴C（-

3

，-2）；

（3）∵△ABP的面積和△ABC的面積相等，
∴直線PC∥直線AB，
設直線PC解析式為y=-

3

3

x+b，
把C（-

3

，-2）代入直線PC得：-2=-

3

3

×（-

3

）+b，即b=-3，
∴直線PC解析式為y=-

3

3

x-3，
把點P（m，-

1

2

）代入直線PC，得-

1

2

=-

3

3

m-3，
解得：m=-

5 3

2

．

點評：此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，含30度直角三角形的性質，等邊三角形的性質，待定系數法確定一次函數解析式，平行線的性質，以及勾股定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．