Question

如圖所示，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC上，且CE=BD，BE、AD相交于點F．
求證：
（1）△ABD≌△BCE；
（2）CE²=DF•DA．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得：AB=BC，∠ABD=∠C=60°，繼而根據SAS即可證得△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE，可證得∠BAD=∠CBE，然后根據有兩角對應相等的三角形相似，即可得△BDF∽△ADB，又由相似三角形的對應邊成比例，即可證得CE²=DF•DA．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，

AB=BC ∠ABD=∠C BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴

BD

AD

=

DF

BD

，
∴BD²=DF•DA，
∵CE=BD，
∴CE²=DF•DA．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質與全等三角形的判定與性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意有兩角對應相等的三角形相似定理的應用．