Question

7、如圖所示，△ABC是正三角形，△A₁B₁ C₁的三條邊A₁B₁、B_lC₁、C₁A₁交△ABC各邊分別于C₂、C₃，A₂、A₃，B₂、B₃．已知A₂C₃=C₂B₃=B₂A₃，且C₂C₃²+B₂B₃²=A₂A₃²．請你證明：A_lB₁⊥C₁A₁．

Answer 1

分析：如圖，過A₂作C₃C₂的平行線交過C₂所作C₃A₂的平行線于點O，連接OA₃、0B₃，可證得四邊形A₂OC₂C₃和四邊形OB₃B₂A₃是平行四邊形，則可得OA₂=C₂C₃，OA₃=B₂B₃，由勾股定理的逆定理得∠A₂OA₃=90°，根據兩角邊與邊的平行關系，即可證得∠C₁A₁B₁=90°，即A₁B₁⊥C₁A₁．

解答：證明：如圖，過A₂作C₃C₂的平行線交過C₂所作C₃A₂的平行線于點O，連接OA₃、0B₃，
∴A₂OC₂C₃是平行四邊形，
∴A₂O∥C₃C₂，且A₂O=C₃C₂，OC₂∥A₂C₃且OC₂=A₂C₃=B₃C₂，
∴△OB₃C₂是正三角形，
∴∠OB₃C₂=60°=∠B，
∴OB₃∥A₃B₂，
又∵0B₃=B₃C₂=A₃B₂，
∴OB₃B₂A₃是平行四邊形，
∴OA₃∥B₃B₂且OA₃=B₃B₂，
∵C₂C₃²+B₂B₃²=A₂A₃²，
∴OA₂²+OA₃²=A₂A₃²，
在△A₂OA₃中，
∵OA₂²+OA₃²=A₂A₃²，
∴由勾股定理的逆定理得∠A₂OA₃=90°，
∵已證OA₃∥B₃B₂，即OA₃∥A₁C₁，A₂O∥C₃C₂，即A₂O∥B₁A₁，
∴∠C₁A₁B₁=90°，
∴A₁B₁⊥C₁A₁．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質、勾股定理的應用和平行四邊形的性質，做好輔助線，構建平行四邊形，運用其性質，是解答本題的關鍵．