Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，拋物線的對(duì)稱軸x＝1，與y軸交于C（0，﹣3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及A、B點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形；若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大；求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，點(diǎn)P（1+，﹣）；（3）故S有最大值為，此時(shí)點(diǎn)P（，﹣）．

【解析】

（1）根據(jù)題意得到函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝﹣＝1，解出b＝﹣2，即可求解；

（2）四邊形POP′C為菱形，則yP＝﹣OC＝﹣，即可求解；

（3）過點(diǎn)P作PH∥y軸交BC于點(diǎn)P，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得到直線BC的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣2x﹣3），則點(diǎn)H（x，x﹣3），再根據(jù)ABPC的面積S＝S△ABC+S△BCP即可求解．

（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，

∴y＝x2﹣2x+c，

再將點(diǎn)C（0，﹣3）代入得到c=-3，

,∴拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，則x＝﹣1或3，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0）；

（2）存在，理由：

如圖1，四邊形POP′C為菱形，則yP＝﹣OC＝﹣，

即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，

解得：x＝1（舍去負(fù)值），

故點(diǎn)P（1+，﹣）；

（3）過點(diǎn)P作PH∥y軸交BC于點(diǎn)P，

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得到直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣2x﹣3），則點(diǎn)H（x，x﹣3），

ABPC的面積S＝S△ABC+S△BCP

＝×AB×OC+×PH×OB

＝×4×3+×3×（x﹣3﹣x2+2x+3）

＝﹣x2+x+6，

=

∵-＜0，

∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值為，此時(shí)點(diǎn)P（，﹣）．