Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形, 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F.

(1) 求證：DE－BF = EF；

(2) 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí), 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF = 2FG，理由見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）本題的關(guān)鍵是求△ADE≌△ABF，以此來(lái)得出DE=AF=AE+EF=BE+EF，這兩個(gè)三角形中已知的條件有AD=BA，一組直角，關(guān)鍵是再找出一組對(duì)應(yīng)角相等，可通過(guò)證明∠DAF和∠ABF來(lái)實(shí)現(xiàn)．（通過(guò)平行和等角的余角相等來(lái)證得）
（2）通過(guò)證明△AFB ∽△BFG ∽△ABG，得出AB，BG；AF，BF；BF，BG之間的比例關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)，來(lái)得出AF，BF，BF，F(xiàn)G之間的比例關(guān)系，然后根據(jù)（1）中得出的結(jié)果來(lái)求BF，F(xiàn)G的大小關(guān)系．

詳解：(1) 證明:

∵ 四邊形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG

∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°

∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE

∴ BF = AE , AF = DE

∴ DE－BF = AF－AE = EF

（2）EF = 2FG 理由如下：

∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG

∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG

∴

∴ AF = 2BF , BF =2FG

由(1)知, AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG