Question

已知正方形OABC的面積為4，點O是坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B在函數y=

k

x

(x＞0，k＞0)的圖象上，點P（m，n）是函數y=

k

x

(x＞0，k＞0)的圖象上任意一點．過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．若設矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S．
（1）求B點的坐標和k的值；
（2）當S=

8

3

時，求點P的坐標；
（3）寫出S關于m的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質得OA=AB=2，則B點坐標為（2，2）；把B（4，4）代入y=

k

x

中，即可求出k；
（2）分類：P（m，n）在y=

4

x

上，得到mn=4，當x＞2，S=AE•PE=（m-2）•n=mn-2n=4-2n=

8

3

，解得n=

2

3

；當0＜x≤2，S=P′F′•F′C=m（n-2）=mn-2m=4-2m=

8

3

，解得m=

2

3

，即可確定P點坐標；
（3）由（2）得易得到S關于m的函數關系式：當x＞2，S=（m-2）•n，當0＜x≤2，S=m（n-2）．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面積為4，即OA=AB=2，
∴B點坐標為（2，2）；
把B（2，2）代入y=

k

x

中，得k=2×2=4；
所以B點的坐標為（2，2），k的值為4；

（2）如圖，
∵P（m，n）在y=

4

x

上，
∴mn=4，
當x＞2，
∴S=AE•PE=（m-2）•n=mn-2n=4-2n=

8

3

，
解得n=

2

3

，則m=6，
∴P點坐標為（6，

2

3

）；
當0＜x≤2，
∴S=P′F′•F′C=m（n-2）=mn-2m=4-2m=

8

3

，
解得m=

2

3

，則n=6，
∴P′點坐標為（

2

3

，6）；
所以點P的坐標為（6，

2

3

）或（

2

3

，6）；

（3）由（2）得
當x＞2，S=（m-2）•n=mn-2n=4-2•

4

m

=

4m-8

m

；
當0＜x≤2，S=m（n-2）=mn-2m=4-2m．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題的解法：先利用待定系數法確定反比例的解析式，那么圖象上所有點的橫縱坐標的乘積為定值．也考查了矩形的性質以及分類討論思想的運用．