Question

如圖所示，拋物線與軸交于點兩點，與軸交于點以為直徑作過拋物線上一點作的切線切點為并與的切線相交于點連結并延長交于點連結

（1）求拋物線所對應的函數關系式及拋物線的頂點坐標；
（2）若四邊形的面積為求直線的函數關系式；
（3）拋物線上是否存在點，使得四邊形的面積等于的面積？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1），（2）或（3）

解：（1）因為拋物線與軸交于點兩點，設拋物線的函數關系式為：
∵拋物線與軸交于點
∴
∴
所以，拋物線的函數關系式為：················· 2分
又
因此，拋物線的頂點坐標為······················ 3分
（2）連結

∵是的兩條切線，
∴∴
又四邊形的面積為∴∴
又∴
因此，點的坐標為或··············· 5分
當點在第二象限時，切點在第一象限.
在直角三角形中，
∴∴
過切點作垂足為點
∴
因此，切點的坐標為························ 6分
設直線的函數關系式為將的坐標代入得
解之，得
所以，直線的函數關系式為··············· 7分
當點在第三象限時，切點在第四象限.
同理可求：切點的坐標為直線的函數關系式為
因此，直線的函數關系式為
或····················· 8分
（3）若四邊形的面積等于的面積
又
∴
∴兩點到軸的距離相等，
∵與相切，∴點與點在軸同側，
∴切線與軸平行，
此時切線的函數關系式為或
······················· 9分
當時，由得，
當時，由得，················ 11分
故滿足條件的點的位置有4個，分別是
······························ 12分
說明：本參考答案給出了一種解題方法，其它正確方法應參考標準給出相應分數.
（1）通過點，求得拋物線的函數關系式和頂點坐標
（2）連結通過是的兩條切線，得到，通過四邊形的面積和得到，從而求得E點坐標有兩個，分別求得切點的坐標，求得直線的函數關系式
（3）若四邊形的面積等于的面積，即，得出切線與軸平行，通過切線的函數關系式，求得點的坐標