Question

直線y=-

4

3

x+8與X軸Y軸分別交于點M，N，如果點P在坐標軸上，以點P為圓心，

12

5

為半徑的圓與直線y=-

4

3

x+8相切，則符合要求的點P個數可能為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由題中所述點P在坐標軸上，所以要分①當P₁點在y軸上，并且在N點的下方；②當P₂點在x軸上，并且在M點的左側；③當P₃點在x軸上，并且在M點的右側；④當P₄點在y軸上，并且在點N上方這四種情況討論，再根據圓的性質及相切的條件，以及相似三角形的對應邊成比例，從而求出每種情況的P點坐標．

解答：解：分以下幾種情況討論：
①當P₁點在y軸上，并且在N點的下方時，設⊙P₁與直線y=-

4

3

x+4相切于點A，
連接P₁A，則P₁A⊥MN，
∴∠P₁AN=∠MON=90°．
∵∠P₁NA=∠MNO，
∴△P₁AN∽△MON，
∴

P1A

MO

=

P1N

MN

在Rt△OMN中，OM=6，ON=8，
∴MN=10．
又∵P1A=

12

5

，∴P1N=4，
∴P₁點坐標是（0，4）；
②當P₂點在x軸上，并且在M點的左側時，同理可得P₂點坐標是（3，0）；
③當P₃點在x軸上，并且在M點的右側時，設⊙P₃與直線y=-

4

3

x+4上切于點B，連接P₃B．
則P₃B⊥MN，∴△P₃BM∽△MON，∴

P3B

ON

=

MP3

MN

，
又ON=8，MN=10，P₃B=

12

5

，
∴P₃M=3，∴P₃點坐標是（9，0）；
④當P₄點在y軸上，并且在點N上方時，同理可得P₄N=4．
∴P₄點坐標是（0，12）．
綜上，P點有（0，4），（3，0），（9，0），（0，12）共四個．
故選D．

點評：本題考查了一次函數的基本性質及直線與圓相切的有關知識，同時還考查了相似三角形的性質及分類討論的思想，有一定的難度．