Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的坐標；

（3）試探究：在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；（2）點M的坐標為（0，3）；

（3）符合條件的點P的坐標為（，）或（，﹣），

【解析】（1）設交點式y=a（x+1）（x-3），展開得到-2a=2，然后求出a即可得到拋物線解析式；再確定C（0，3），然后利用待定系數法求直線AC的解析式；

（2）利用二次函數的性質確定D的坐標為（1，4），作B點關于y軸的對稱點B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（-3，0），利用兩點之間線段最短可判斷此時MB+MD的值最小，則此時△BDM的周長最小，然后求出直線DB′的解析式即可得到點M的坐標；

（3）過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P，如圖2，利用兩直線垂直一次項系數互為負倒數設直線PC的解析式為y=-x+b，把C點坐標代入求出b得到直線PC的解析式為y=-x+3，再解方程組得此時P點坐標；當過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P時，利用同樣的方法可求出此時P點坐標．

（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

當x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），

設直線AC的解析式為y=px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直線AC的解析式為y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點D的坐標為（1，4），

作B點關于y軸的對稱點B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時MB+MD的值最小，

而BD的值不變，

∴此時△BDM的周長最小，

易得直線DB′的解析式為y=x+3，

當x=0時，y=x+3=3，

∴點M的坐標為（0，3）；

（3）存在．

過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P，如圖2，

∵直線AC的解析式為y=3x+3，

∴直線PC的解析式可設為y=﹣x+b，

把C（0，3）代入得b=3，

∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，

解方程組，解得或，則此時P點坐標為（，）；

過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P，直線PC的解析式可設為y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，

∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，

解方程組，解得或，則此時P點坐標為（，﹣）.

綜上所述，符合條件的點P的坐標為（，）或（，﹣）.