Question

（本題10分）如圖①，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠BOC=120o，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖①中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖②，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC．問：直線ON是否平分∠AOC?請說明理由．

（2）將圖①中的三角板繞點O按每秒6o的速度逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，直線ON恰好平分∠AOC，求旋轉時間t的值．

（3）將圖①中的三角板繞點O按順時針方向旋轉至圖③的位置，使ON在∠AOC的內部，請探究：∠AOM與∠NOC之間的數量關系，請說明理由.

Answer 1

（1）直線ON平分∠AOC，證明略；（2） 10秒或40秒；（3） ∠AOM—∠NOC=30°，證明略.

【解析】

試題分析：（1）根據角平分線的定義和平角的定義求出∠COP=30°，即可證得直線ON平分∠AOC；

（2）當ON繞O點旋轉至圖②位置時，此時ON轉過60°，旋轉時間為10秒；當ON轉至銳角∠AOC內部平分∠AOC時，ON轉過90°+150°=240°，旋轉時間為40秒；

（3）根據∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=60°，得到∠AOM一∠NOC =30°.

試題解析：（1）直線ON平分∠AOC（如圖），理由如下：

∵OM平分∠BOC，且∠BOC=120°，

∴∠COM=60°，

又∠MON=90°，

∴∠POM=90°，

∴∠COP=30°，

又∠AOC=60°，

∴OP平分∠AOC，

即直線ON平分∠AOC.

（2）當ON繞O點旋轉至圖②位置時，ON平分∠AOC，此時ON轉過60°，

當ON轉至銳角∠AOC內部平分∠AOC時，ON轉過90°+150°=240°，

所以t=10或40（秒） ，

答：旋轉時間t的值為10秒或40秒.

（3） ∠AOM—∠NOC=30°，

∵∠AOM+∠AON=90°，

∠AON+∠NOC=60°，

∴∠AOM一∠NOC =30°.

考點：角平分線的定義；角的和差.