Question

【題目】如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，點O為BD的中點，且OA平分∠BAC．
（1）求證：OC平分∠ACD；
（2）求證：OA⊥OC；
（3）求證：AB+CD=AC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點O作OE⊥AC于E，

∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，

∴OB=OE，

∵點O為BD的中點，

∴OB=OD，

∴OE=OD，

∴OC平分∠ACD

（2）證明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，

，

∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），

∴∠AOB=∠AOE，

同理求出∠COD=∠COE，

∴∠AOC=∠AOE+∠COE= ×180°=90°，

∴OA⊥OC

（3）證明：∵Rt△ABO≌Rt△AEO，

∴AB=AE，

同理可得CD=CE，

∵AC=AE+CE，

∴AB+CD=AC．

【解析】（1）過點O作OE⊥AC于E，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OB=OE，從而求出OE=OD，然后根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明；（2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根據垂直的定義即可證明；（3）根據全等三角形對應邊相等可得AB=AE，CD=CE，然后證明即可．