Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點P為BC的中點，連接EP，AD．

(1)求證：PE是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為3，∠B=30°，求P點到直線AD的距離．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）連接FO，由P為BC的中點，AO=CO，得到OP∥AB，由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據OP∥AB，得出OP⊥CE，于是得到OP所在直線垂直平分CE，推出PC=PE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結論．
（2）設P點到直線AD的距離為d，記△PAD的面積S△PAD，根據三角形的面積得到d= ①由勾股定理得BC=6，根據平行線的性質得到∠OPC=∠B=30°，推出△OEA為等邊三角形，得到∠EOA=60°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD==3 ，將以上數據代入①得即可得到結論．

(1)證明：連接CE，如圖所示：

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠AEC=90°．

∴∠BEC=90°．

∵點F為BC的中點，

∴EF=BF=CF．

∴∠FEC=∠FCE．

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠OCE．

∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，

∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．

∴EF是⊙O的切線；

(2)解：設P點到直線AD的距離為d，記△PAD的面積S△PAD，

則有：S△PAD=ADd=PDAC，

∴d=①

∵⊙O的半徑為3，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，AC=6，AB=12，

由勾股定理得BC=6，

∴PC=3

∵O，P分別是AC，BC的中點，

∴OP∥AB，

∴∠OPC=∠B=30°，

∵OE=OA，∠OAE=60°，

∴△OEA為等邊三角形，

∴∠EOA=60°，

∴∠ODC=90°﹣∠COD=90°﹣∠EOA=30°，

∴∠ODC=∠OPC=30°，

∴OP=OD，

∵OC⊥PD，

∴CD=PC=3，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD==3，

將以上數據代入①得：d===．