Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD對角線AC上一動點，點E在射線BC上，且PB＝PE，連接PD，O為AC中點．

(1)如圖1，當點P在線段AO上時，試猜想PE與PD的數量關系和位置關系，不用說明理由；

(2)如圖2，當點P在線段OC上時，(1)中的猜想還成立嗎？請說明理由；

(3)如圖3，當點P在AC的延長線上時，請你在圖3中畫出相應的圖形(尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)，并判斷(1)中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)PE與PD的數量關系和位置關系分別為：PE＝PD，PE⊥PD；(2)成立，理由見解析；(3)成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據點P在線段AO上時，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE＝PD；

（2）利用三角形全等得出，BP＝PD，由PB＝PE，得出PE＝PD，要證PE⊥PD；從三方面分析，當點E在線段BC上（E與B、C不重合）時，當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，當點E在BC的延長線上時，分別分析即可得出；

（3）利用PE＝PB得出P點在BE的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質只要以P為圓心，PB為半徑畫弧即可得出E點位置，利用（2）中證明思路即可得出答案．

(1)當點P在線段AO上時，

在△ABP和△ADP中，

∴△ABP≌△ADP，

∴BP＝DP，

∵PB＝PE，

∴PE＝PD，

過點P做PM⊥CD于點M，作PN⊥BC，于點N，

∵PB＝PE，PN⊥BE，

∴BN＝NE，

∵BN＝DM，

∴DM＝NE，

在Rt△PNE與Rt△PMD中，

∵PD＝PE，NE＝DM，

∴Rt△PNE≌Rt△PMD，

∴∠DPM＝∠EPN，

∵∠MPN＝90°，

∴∠DPE＝90°，

故PE⊥PD，

PE與PD的數量關系和位置關系分別為：PE＝PD，PE⊥PD；

(2)∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，

∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，

∵PA＝PA，

∴△BAP≌△DAP(SAS)，

∴PB＝PD，

又∵PB＝PE，

∴PE＝PD．

(i)當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PE⊥PD．

(ii)當點E在BC的延長線上時，如圖．

∵△ADP≌△ABP，

∴∠ABP＝∠ADP，

∴∠CDP＝∠CBP，

∵BP＝PE，

∴∠CBP＝∠PEC，

∴∠PEC＝∠PDC，

∵∠1＝∠2，

∴∠DPE＝∠DCE＝90°，

∴PE⊥PD．

綜合(i)(ii)，PE⊥PD；

(3)同理即可得出：PE⊥PD，PD＝PE．