Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠B= 60°.

（1）如圖①.若點E、F分別在邊AB、AD上，且BE=AF，求證:△CEF是等邊三角形.

（2）小明發現，當點E、F分別在邊AB、AD上，且∠CEF=60°時，△CEF也是等邊三角形，

并通過畫圖驗證了猜想;小麗通過探索，認為應該以CE= EF為突破口，構造兩個全等三角形:小倩受到小麗的啟發，嘗試在BC上截取BM =BE，并連接ME，如圖②，很快就證明了△CEF是等邊三角形.請你根據小倩的方法，寫出完整的證明過程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）易證△BEC≌△AFC，即可得證；（2）先證得△BEM是等邊三角形，再證△MEC≌AFE，即可EC=EF，再由∠CEF=60°即可證明.

（1）因為四邊形ABCD是菱形，所以AB= BC=CD=AD.

因為∠B=60°，所以△ABC，△ADC都是等邊三角形.

所以BC=AC，∠B=∠CAF=∠ACB=60°，

又因為BE=AF，所以.△BEC≌△AFC(SAS)，所以CE=CF，∠ECF=∠BCA=60°

所以△ECF是等邊三角形，

(2) 因為BE=BM，∠B= 60°

所以△BEM是等邊三角形.

所以∠EMB=∠BEM=60°，∠EMC=∠AEM=120°

因為AB= BC，∠EAF120°，所以.AE=CM，∠EAF=∠EM.

因為∠FEC=60°，所以∠AEF+∠CEM=60°.

又因為∠CEM+∠ECM=60°所以∠AEF=∠ECM.

所以△MEC≌AFE(ASA)，所以EC=EF.

又因為∠FEC=60°，所以△EFC是等邊三角形.