Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=與直線y=﹣x﹣交于A、B兩點，已知點B的橫坐標是4，直線y=﹣x﹣與x、y軸的交點分別為A、C，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P在直線y=﹣x﹣上方，求△PAC的最大面積；

（3）設M是拋物線對稱軸上的一點，以點A、B、P、M為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）當m=時，取最大值，最大值為；（3）能，點P（﹣4，）或（2，）．

【解析】

試題分析：（1）將x=4代入直線y=﹣x﹣中求出y值，即可得出點B坐標，在令直線y=﹣x﹣中y=0，求出x值，從而得出點A的坐標，由點A、B兩點的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）過點P作PQ∥y軸，交直線AB于點Q，設出P點坐標，表示出Q的坐標，利用分割圖形法求面積找出關于m的二次函數關系式，根據二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）假設能，由拋物線的解析式找出拋物線的對稱軸，分線段AB為對角線和邊兩種情況來考慮，根據平行四邊形的性質找出關于P點橫坐標的一元一次方程，解方程即可求出P點的橫坐標，將其代入拋物線解析式中即可得出點P的坐標．

試題解析：（1）把x=4代入y=﹣x﹣=﹣×4﹣=﹣2，

∴點B的坐標為（4，﹣2），

把y=0代入y=﹣x﹣=0，

解得：x=﹣1，

∴點A的坐標為（﹣1，0），

把A，B代入y=，得：，解得：，

∴拋物線的解析式：y=；

（2）過點P作PQ∥y軸，交直線AB于點Q，如圖1所示．

設P（m，）（1＜m＜4），Q（m，﹣m﹣），

則PQ=﹣（﹣m﹣）=，

∵==OAPQ=×1×[﹣（﹣m﹣）]==（1＜m＜4），

∴當m=時，取最大值，最大值為；

（3）假設能．由（1）知拋物線的對稱軸為x==1，

∴點M的橫坐標為1，以點A、B、P、M為頂點的平行四邊形有兩種情況：

①當AB為平行四邊形的邊時，有，則﹣1﹣4=﹣1，

解得：=﹣4，即點P的橫坐標為﹣4，

將x=﹣4代入y=，得：y=，

∴點P（﹣4，）；

②當AB為平行四邊形的對角線時，有，則﹣（﹣1）=4﹣1，

解得：=2，即點P的橫坐標為2，

將x=2代入y=，得：y=，

∴點P（2，）．

綜上所述：以點A、B、P、M為頂點的四邊形能成為平行四邊形，點P的坐標為（﹣4，）或（2，）．