Question

【題目】如圖，△是等邊三角形， ＝2.點從點出發沿沿射線以1 的速度運動，過點作∥交射線于點，同時點從點出發沿的延長線以1 的速度運動，連結、.設點的運動時間我（）.

（1）求證：△是等邊三角形；

（2）直接寫出的長（用含的代數式表示）；

（3）當點在邊上，且不與點、重合時，求證：△≌△.

（4）在不添加字母和連結其它線段的條件下，當圖中等腰三角形的個數大于3時，直接寫出t的值和對應的等腰三角形的個數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）或；

（3）證明見解析；

（4）當t=1時，圖中有5個等腰三角形，當t=4時，圖中有4個等腰三角形．

【解析】【試題分析】

（1）△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的定義得：∠A=∠ABC=60°．

由于，根據兩直線平行，同位角相等得：∠APE=∠ABC=60°．

因為∠A=∠APE=60°．根據等邊三角形的判定得：△APE是等邊三角形．

（2）由題意得：AE=AP=t,當t<2時，CE= ；當t>2時，CE= ． 或．

（3）根據△ABC是等邊三角形，得到，AB=AC，∠ACB=60°．因為△APE是等邊三角形，

得AP=PE=AE，∠APE=60°．則AB-AP=AC-AE，∠BPE=∠ECQ=120°．根據等量相減仍是等量得：BP=EC．由于AP=CQ=t，所以PE=CQ．根據SAS得，△BPE≌ECQ．

（4）當t=1時，圖中有5個等腰三角形．

當t=4時，如圖，圖中有4個等腰三角形．

【試題解析】

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=60°．

∵，

∴∠APE=∠ABC=60°．

∴∠A=∠APE=60°．

∴△APE是等邊三角形．

（2）當t<2時，CE= ；當t>2時，CE= ．

（3）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°．

∵△APE是等邊三角形，

∴AP=PE=AE，∠APE=60°．

∴AB-AP=AC-AE，∠BPE=∠ECQ=120°．

∴BP=EC．

∵AP=CQ=t，

∴PE=CQ．

∴△BPE≌ECQ．

（4）當t=1時，圖中有5個等腰三角形．

當t=4時，如圖，圖中有4個等腰三角形．