Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F．

求證：
（1）FC＝AD
（2）AB＝BC＋AD．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中點，∴DE＝EF，∵在△ADE與△FCE中，∠ADC＝∠ECF，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD；

（2）

解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，又∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF，∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD．

【解析】（1）根據AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質即可解答；（2）根據線段垂直平分線的性質判斷出AB＝BF即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解線段垂直平分線的性質的相關知識，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．