Question

【題目】今年是全面建成小康社會和“十三五”規劃收官之年，為促進銷售，某公司開發了A、B兩項新產品，銷售前景廣闊．已知A、B的成本、售價和每日銷量如下表所示：

	成本（元/件）	售價（元/件）	銷量（件/日）
A	500	700	500
B	800	1050	300

根據銷售情況，公司對B項產品降價銷售，同時對A項產品提價銷售，發現B項產品每降價5元就多銷售2件，A項產品每提價5元就可少銷售1件，要保持每日的總銷量不變，設A項產品每天少銷售x個，每天總獲利為y元．

（1）求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（2）要使每天利潤不低于208000元，直接寫出x的取值范圍；

（3）該公司決定每銷售一件A產品，就捐給紅十字會a（0＜a≤100）元作為抗疫基金．當40≤x≤50時，每日的最大利潤為237250元，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋1800x＋175000（0＜x≤100）；（2）20≤x≤100；（3）20

【解析】

（1）根據每日利潤=每件產品的利潤×銷售量，用含x的代數式分別表示出A、B兩項產品的利潤，再相加即可求出y與x的函數關系式，進一步即可求出x的取值范圍；

（2）由題意可得關于x的不等式，求出不等式的解集后結合（1）題中x的范圍即得結果；

（3）設捐款后，每日的利潤為w元，先根據（1）題的思路求出w與x的函數關系式，再根據二次函數的性質即可得到關于a的方程，解方程即得結果．

解：（1）y＝(700－500＋5x)(500－x)＋(1050－800－x)(300＋x)

＝100000＋2300x－5x2＋75000－500x－x2

＝－x2＋1800x＋175000，

由x＞0，1050－800－x ≥0，得：0＜x≤100；

（2）由題意，得－x2＋1800x＋175000≥208000，解得：20≤x≤220，

∵0＜x≤100，

∴20≤x≤100；

（3）設捐款后，每日的利潤為w元，則

w＝(200＋5x－a)(500－x)＋75000－500x－x2＝－x2＋(1800＋a)x＋175000－500a，

此拋物線的對稱軸是直線x＝120＋＞120，

∴當40≤x≤50時，w隨x增大而增大，

∴當x＝50時，w最大＝246250－450a＝237250，

解得：a＝20．