Question

【題目】在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．

（1）當點P與點C重合時（如圖①），求證：△BOG≌△POE；
（2）結合圖②，通過觀察、測量、猜想： 與 的關系，并證明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖③），若AC=8，BD=6，直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，

∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，

∵PF⊥BG，∠PFB=90°，

∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，

∴∠GBO=∠EPO，

在△BOG和△POE中，

∴△BOG≌△POE（ASA）；

（2）解：猜想 = ．

證明：如圖2，過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，

∴∠MBN=∠NPE，

在△BMN和△PEN中，

∴△BMN≌△PEN（ASA），

∴BM=PE．

∵∠BPE= ∠ACB，∠BPN=∠ACB，

∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，

∴∠BFP=∠MFP=90°．

在△BPF和△MPF中，

∴△BPF≌△MPF（ASA）．

∴BF=MF．

即BF= BM．

∴BF= PE．

即 = ；

故答案為 ；

（3）解：如圖3，

過P作PM∥AC交BG于點M，交BO于點N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，

在Rt△BOC中，OC= AC=4，OB= BD=3，

∴tan∠ACB= =

由（2）同理可得：BF= BM，∠MBN=∠EPN，

∵∠BNM=∠PNE=90°，

∴△BMN∽△PEN．

∴ ．

在Rt△BNP中，tan∠ACB= = ，

∴ =tan∠ACB= ．

即 = ．

∴ = × = ．

【解析】（1）先依據正方形的性質以及P與C重合，可證明OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等可得到∠GBO=∠EPO，然后依據ASA可得到△BOG≌△POE；
（2）過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，然后依據ASA可證明△BMN≌△PEN、△BPF≌△MPF（ASA），從而可得到BM=PE，BF=BM．則可求得 的值；
（3）過P作PM∥AC交BG于點M，交BO于點N，由（2）可知到BF=，∠MBN=∠EPN，然后再可證明△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的對應邊成比例求解即可.
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．